martes, 11 de noviembre de 2008

FCF #4: La caída interminable

Una vez acabado el ciclo de superhéroes en Física en la Ciencia Ficción, hemos empezado con el siguiente bloque: Julio Verne. Sumamos una película más a las vistas en clase, Viaje al Centro de la Tierra (Journey to the Center of the Earth, 2008), la enésima adaptación cinematográfica de una de las novelas más célebres de Verne, protagonizada por Brendan Fraser. Vamos a analizar una escena de las muchas que podríamos discutir: la de la caída infinita.

Los tres personajes, tras verse atrapados en una cueva de un volcán de Islandia, deciden buscar una salida alternativa bajando precipicios e internándose por túneles, acabando en una chimenea volcánica cuyo suelo es de moscovita, un silicato fácilmente rompible que, como es de esperar en una película de este tipo, quiebra, precipitando a nuestros protagonistas a una caída interminable:



Tras estar cayendo durante unos cien segundos, acaban en un "tobogán de agua" que milagrosamente amortigua el grandísimo golpe que se pegarían, y acaban en un pozo de agua. ¿Pero hasta qué punto pueden ser verdad las condiciones de la caída que vemos en ese vídeo?

En primer lugar, partamos de lo que vemos "en la práctica", en el vídeo. Se trata de un movimiento de caída libre, es decir, la trayectoria que sigue un cuerpo bajo la acción de un campo gravitatorio exclusivamente, un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA). Aunque cien segundos son muchos segundos para andar cayendo, no sería ninguna locura extrema suponer que la gravedad no va disminuyendo y es constante (9,8 m/s2) y que el rozamiento del aire no frena a los tres cuerpos cayendo. Pasemos a calcular cuánto han descendido dentro de la Tierra con esta expresión:


Donde a0 es la aceleración de la gravedad, t es el tiempo (100 segundos), v0 es la velocidad inicial (en nuestro caso se parte del reposo, por tanto es cero) y x0 es la posición inicial (como partimos de que estamos en la superficie terrestre, más o menos, también es cero). No hay más que multiplicar para llegar al dato de 49.000 metros. Una caída de casi 50 kilómetros mínimo da para hacerse alguna que otra contusión. Y quien dice contusión dice "quedarse estrellado hecho papilla". Y, desde luego, no se llega al centro de la Tierra, 6.371 kilómetros bajo nuestros pies.

En el vídeo también se ve claramente cómo nuestros tres amigos están hablando entre sí mientras caen. Algo, cuanto menos, raro. Sólo les falta empezar una frase con un "saben aquel que diu...". Pero analicémoslo, y ayudémonos de esta expresión de un movimiento MRUA que nos permite hallar la velocidad en un instante t dado:

En v(t) pongamos 340 m/s, o lo que es lo mismo, la velocidad del sonido. Nuestra incógnita t nos revela que en torno a los 33 segundos de caída libre, superamos la barrera del sonido y se produce un estallido sónico similar al de los aviones supersónicos al superar el Mach 1. La comunicación en estas condiciones, aunque los tres cuerpos se estén moviendo a la misma velocidad, es bastante complicado.

Para terminar, indaguemos cuánto tiempo se debería estar cayendo para llegar al centro de la Tierra, obviando nuevamente el rozamiento del aire. Podemos usar la ley de Gravitación Universal:


Donde G es la constante de Gravitación Universal, M es la masa de la Tierra y r es el radio de la Tierra. Con lo que obtenemos la expresión para hallar el tiempo necesario, sustituyendo en la primera expresión indicada en esta entrada g por el nuevo valor, y despejando t así:

Tras esto sólo queda integrar r entre el radio en la corteza terrestre y cero (el radio en el núcleo), desde donde caemos al núcleo. Con todo, el tiempo t nos queda así:

El resultado (sólo hay que sustituir datos) nos da casi 19 minutos de caída libre desde la superficie de la Tierra hasta su centro, lo que sería media película. Esos 100 segundos de caída que vemos en el vídeo, obviamente ni de lejos se acerca a lo que matemáticamente hemos demostrado que necesitaríamos. Punto y minipunto para el equipo de los físicos.

¿Habrán caído en la cuenta de esto los guionistas de la película?

9 monerías:

Wis_Alien dijo...

Lo de tomar la aceleración como la mitad de la gravedad no es lo más correcto... Para ser estrictos habría que integrar la expresión de la gravitación entre el radio igual a 0 y el radio terrestre. Yo lo hice ahora mismo y si no me confundí me da de resultado casi 19 minutos.

Es un valor lógico teniendo en cuenta que cuanto más rápido caigas al principio más velocidad llevarás cuando la gravedad vaya desapareciendo; por lo que caerás en menos tiempo.

Esto aún tiene un pase en la película porque no vas a tener 20 minutos a los protagonistas cayendo, pero lo que no tiene sentido ninguno es que caigan sobre agua (¿?) y no se maten!!

Armaggedon dijo...

Ese dato de 19 minutos tiene más sentido para con lo que dijo Sergio en clase que tardaríamos casi 39 minutos en llegar al otro extremo del planeta. Lo corregiré, la verdad es que no tengo los conocimientos necesarios para llegar a la deducción que acabas de hacer... Aunque hay que intentarlo, lo mío no estaba tan mal pensado, creo yo xD.

Chas gracias! ^^

Wis_Alien dijo...

Sí, supongo que él habrá hecho lo mismo que yo, pero integrando entre los -Rt y +Rt, siendo Rt el radio terrestre. Que salga un minuto más o menos depende de los decimales que se utilice.

No creas que es muy complicado hacerlo. Solo tienes que plantear la ecuación de la gravitación universal (F=GMm/r^2) e igualarlo a la fuerza de atracción (F=mg). Despejas la g, la metes en la ecuación del tiempo, integras respecto a la r y ya está. xDD

Armaggedon dijo...

No, si complicado de hacer no es, no es más que igualar, integrar una cosa sencilla y multiplicar. Lo difícil era que se me hubiese ocurrido hacerlo xD

Anónimo dijo...

No habeis tenido en cuenta el rozamiento con el aire, que lleva a una velocidad máxima de 200Km/h (velocidad terminal)
http://www.seed.slb.com/qa2/FAQView.cfm?ID=534&Language=ES

Armaggedon dijo...

No, no tuve ese dato en cuenta, expliqué que obviaríamos el rozamiento con el aire. No conocía el dato exacto de 200 km/h, aunque sabía que un límite había. Tardaríamos 5,67 segundos en dejar de acelerar por la gravedad (entendiéndola constante), pero eso le quitaba mucho "condimento" al asunto y supuse la caída en el vacío. Además, a saber qué cantidad de aire o a qué densidad está en esos túneles imaginarios subterráneos, y cómo va descendiendo a medida que bajamos.

De todos modos, teniendo en cuenta la velocidad límite, con 100 segundos de caída sólo nos introduciríamos 5,5 kilómetros dentro de la Tierra. Eso desbarata aún más los planes de Verne y de los guionistas de cine, que es lo que intentamos hacer un poco aquí :P.

Gracias por el dato y por tu comentario ;-). Un saludo!

Wis_Alien dijo...

Anónimo, estás confundido. Esa velocidad será para cuando uses un paracaidas, tal y como pone en la página que has enlazado. La velocidad terminal de un ser humano es muchísimo mayor. De hecho dudo que se alcance aunque caigamos hasta el fondo de la Tierra.

Anónimo dijo...

La velocidad terminal de un ser humano medio sin paracaídas es de 200Km/h, si fuese con paracaídas, de nada serviría llevarlo, porque "aterrizar" a 200Km/h no puede ser nada agradable.

En cuanto a la presión según desciendes, no puede disminuir, sino aumentar, por lo que iría todavía reduciéndose más la velocidad terminal.

Publicar un comentario